3 soal geometri dari Yunani yang tak terpecahkan berabad-abad

Sebelum saya memulai tulisan blog ini, saya akan memberitahukan bahwa pada jaman dahulu , matematikawan Yunani memiliki aturan-aturan dalam menyelesaikan masalah geometri, yaitu :

1. Tidak menggunakan penggaris berskala
2. Tidak menggunakan busur
3. Hanya menggunakan Jangka dan Penggaris tak berskala

Mereka melakukan ini karena mereka menganggap bahwa menggunakan alat-alat yang canggih akan mengurangi nilai-nilai keagungan matematika

Ok, saya akan memulai pembicaran tentang masalah ini


1.Soal Delian
 










Soal ini muncul saat ada wabah penyakit di Pulau Delos. Pada saat itu, Rahib kuil dewa Apollo mengatakan bahwa mereka aka terbebas dari penyakitjika mereka memperbesar volume kubus 2 kali lipat. Kedengarannya memang mudah, namun jika kita  melihat peraturan matematikawan Yunani, mereka menemukan bahwa mereka akan mustahl untuk bisa menjawabnya.

Mengapa bisa tak ada jawaban : 

Kita asumsikan sisi kubus adalah 1cm, berarti volumenya 1cm³. Jika di 2 kali lipatkan akan menjadi 2cm³. Kita tahu bahwa ≈ 1.25992105 artinya angka itu tak bisa direalisasikan di kenyataan tanpa jangka dan penggaris tanpa skala.

2. Membagi sudut menjadi 3 bagian yang sama 

  










Soal ini bertujuan untuk membagi sudut-sudut yang tak ditentukan besarnya menjadi 3. Sebenarnya soal ini dapat dipecahkan dengan busur, namun sekali lagi ini adalah soal Yunani dan mereka juga memiliki aturan yang telah saya beritahukan. Memang ada beberapa derajat yang bisa dibagi jadi 3 dengan jangka dan penggaris tanpa skala, yaitu : 

1. 90º 
2. 180º

Mengapa bisa tidak ada jawaban : 

Karena dengan menggunakan jangka dan penggaris tanpa skala hanya dapat menggambar sudut tertentu saja . 

3.Membuat Bujur Sangkar yang luasnya sama dengan lingkaran

Soal ini bertujuan untuk membuat persegi yang luasnya sama dengan lingkaran dengan aturan-aturan dari matematikawan Yunani. Pada jaman dahulu, Orang Mesir Kuno menghitung luas lingkaran dengan rumus : ( 2r x 8/9 )². Memang kedengarannya sudah selesai, namun jika kita hitung seksama maka hasilnya akan lebih besar sedikit dari hasil πr². 

Bukti : 

1. Misal , r = a 

2. Jika kita menggunakan rumus orang mesir, maka : (2a x 8/9)² = ( 16a/9 )² = 256a²/81 ( I )

3. Jika kita menghitung menggunakan rumus yang πr², maka : 22/7 x a² = 22a²/7 ( II )

4. Kemudian kita bandingkan hasilnya dengan menggunakan suatu bilangan rasional yang sama misal : a = 7

5. Kita coba dengan perhitungan : 

    I  . 256 x 49/81 ≈ 154, 864 

    II . 22/7 x 49 = 154 

6. Kita bisa melihat bahwa hasil cara I lebih besar sedikit dibanding hasil cara II .

7. Itulah mengapa soal ini tidak bisa diselesaikan karena cara mencari luas persegi adalah = s².

    Jika kita menggunakan s-nya adalah 8/9 nya 2r , hasilnya akan lebih besar sedikit dari lingkarannya.

Q.E.D

Siapakah D.R.Kaprekar ?

Dattaraya Ramchandra Kaprekar (17 Januari 1905 - 1986) adalah seorang matematikawan India yang menemukan beberapa hasil dalam teori bilangan, termasuk kelas angka dan konstanta bernama setelah dia. Meskipun tidak memiliki pascasarjana pelatihan formal dan bekerja sebagai guru, ia menerbitkan banyak buku dan menjadi terkenal di kalangan matematika rekreasi.

Biografi 

Kaprekar menerima pendidikan sekolah menengah di Thane dan belajar di Fergusson College di Pune. Pada tahun 1927 ia memenangkan Wrangler RP Paranjpe Matematika Hadiah untuk sebuah karya original di bidang matematika.

Dia kuliah di University of Mumbai, menerima gelar sarjana pada tahun 1929. Karena belum pernah menerima pelatihan formal pascasarjana, untuk seluruh karirnya (1930-1962) ia adalah guru di Nashik di Maharashtra, India. Dia menerbitkan banyak buku, menulis tentang topik seperti desimal berulang, kotak ajaib, dan bilangan bulat dengan sifat khusus.

Penemuan

Kaprekar menemukan sejumlah teori bilangan dan menjelaskan berbagai sifat angka. Selain Konstanta Kaprekar dan Bilangan Kaprekar yang dinamai menurut namanya, ia juga menggambarkan bilangan sendiri atau Bilangan Devlali, Bilangan Harshad ,dan Bilangan Demlo. Awalnya ide-idenya tidak diambil serius oleh matematikawan India, dan hasilnya dipublikasikan dalam jurnal sebagian besar tingkat rendah matematika atau pribadi yang diterbitkan, tetapi ketenaran internasional tiba ketika Martin Gardner menulis tentang Kaprekar pada tahun 1975 kolom Maret nya Matematika Permainan untuk Scientific American. Hari ini nama nya terkenal dan banyak matematikawan lainnya telah mengejar studi sifat yang ia temukan. Beberapa penjelasan tentang penemuan Kaprekar :

Konstanta Kaprekar 

Kaprekar menemukan konstanta kaprekar atau 6174 tahun 1949 . Ia menunjukkan bahwa 6174 dicapai dalam batas sebagai salah satu berulang kali mengurangi angka tertinggi dan terendah yang bisa dibangun dari satu set dari empat angka yang tidak semua identik .

Contoh :

4321 − 1234 = 3087 , lalu
8730 − 0378 = 8352 , kemudian
8532 − 2358 = 6174 .

Jika sudah mencapai angka 6174 , maka hasilnya akan tetap 6174 .

Sebuah konstanta serupa untuk 3 digit adalah 495. Namun, dalam basis 10  seperti kaprekar hanya ada untuk jumlah digit 3 atau 4. untuk digit lebih (atau 2), angka masuk ke salah satu dari beberapa siklus. 


Bilangan Kaprekar 

Bilanagn Kaprekar adalah bilangan bulat positif dengan sifat bahwa jika dikuadratkan, maka representasinya dapat dibagi menjadi dua bagian bilangan bulat positif yang jumlah sama dengan nomor asli (misalnya 45, karena 45²  = 2025, dan 20 +25 = 45, juga 9, 55, 99 dll) Namun, perlu diketahui bahwa pembatasan dua angka positif, misalnya, 100 bukan angka Kaprekar meskipun 100² = 10000 , dan 100 +00 = 100. Operasi ini, mengambil angka paling kanan dari persegi, dan menambahkannya ke integer dibentuk oleh digit paling kiri, dikenal sebagai operasi Kaprekar.

Beberapa contoh nomor Kaprekar dalam basis 10, selain angka, 9, 99 999, ...... , .
  
Bilangan Devlali

Bilangan Devlali adalah bilangan bulat yang, dalam basis tertentu, tidak bisa dihasilkan oleh bilangan bulat lain ditambahkan dengan jumlah digit yang integer lain. Misalnya, 21 bukan Bilangan Devlali , karena dapat dihasilkan dengan jumlah 15 dan terdiri dari 15 digit, yaitu 21 = 15 + 1 + 5. Tidak ada jumlah tersebut akan menghasilkan bilangan bulat 20, maka itu adalah angka diri. Angka-angka ini pertama kali dijelaskan pada tahun 1949 oleh matematikawan India D.R.Kaprekar.

Beberapa Bilangan Devlali adalah : 

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525

 Bilangan Harshad 

Kaprekar juga mendeskripsikan Bilangan Harshad yang ia beri nama harshad, yang berarti "memberikan sukacita" (Harsa Sansekerta, sukacita + da taddhita pratyaya, kausatif); ini didefinisikan oleh properti bahwa mereka dibagi dengan jumlah digit mereka. 12 Jadi, yang dibagi oleh 1 + 2 = 3, adalah Bilangan Harshad .


Contoh : 
18 bilangan Harshad karena : 1+8 = 9 
18 bisa dibagi 9 
  
50 Bilangan Harshad yang pertama adalah : 
10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Bilangan Demlo


Kaprekar juga mempelajari angka Demlo, nama stasiun kereta api di mana ia mendapat ide mempelajarinya. Ada angka 1, 121, 12321, ..., yang merupakan kuadrat repunit 1 11, 111, ....

Seven Bridges of Königsberg . Soal yang tak bisa diselesaikan ?

Soal "Seven Bridges of Königsberg" adalah soal yang berasal dari 200 tahun yang lalu . Soal ini dikemukakan oleh ahli matematika asal Swiss "Leonhard Euler". Soalnya adalah : Mungkinkah melewati semua jembatan dengan hanya melalui 1 perjalanan tanpa melawati jalan yang sama 2 kali ? . Soal ini telah dibuktikan tidak bisa dijawab oleh pembuat soalnya sendiri , Leonhard Euler .

Pembuktian 

Leonhard Euler mengatakan bahwa jalan yang memiliki persimpangan berangka ganjil lebih dari 3 tidak akan bisa dilewati semuanya dengan hanya sekali perjalanan . Contoh :

  

Jika kita buat 7 Jembatan Koningsberg menjadi sketsa , daratan menjadi titik dan jembatan menjadi garis , maka gambarnya jadi seperti ini : 

 
Gambar ini menunjukan bahwa semua persimpangan jalan adalah ganjil , dan juga lebih dari tiga . Maka semua jemabatan tidak bisa dilewati hanya sekali jalan tanpa melewati titik yang sama .